Fonksiyonlar Konu Anlatımı (Metin)

Fonksiyonlar Konu Anlatımı (Metin)

FONKSİYONLAR

A ve B boş olmayan iki küme olsun. A’nın her elemanını B’nin yalnız bir elemanına eşleyen A’dan B’ye bir f bağıntısına, A’dan B’ye bir fonksiyon denir.

Fonksiyon olması için;

1) A’nın her elamanı B’ye gidecek.

2) A kümesinde açıkta eleman kalmayacak.

3) A’nın herhangi bir elamanı B’ye iki defa gitmeyecek.

4) B’de açıkta elaman kalabilir.

Örnek: A={ali,ayşe,fatma} B={sarma,makarna,pilav,yahni}

A’dan B’ye tanımlanan bağıntılardan hangileri fonksiyondur?

a) f={(ali,sarma),(ayşe,makarna),(fatma,yahni)}

b) g={(ali,pilav),(ayşe,sarma),(fatma,yahni),(fatma,makarna)}

c) h={(ayşe,sarma),(fatma,pilav)}

Yukarıdakilerden h bağıntısı fonksiyon değildir çünkü ali açıkta kalmıştır.

g bağıntısı fonksiyon değildir çünkü fatma iki çeşit yemek almıştır.

f bağıntısı fonksiyondur.A’nın her elamanı B’den bir çeşit yemek seçmiştir.

Buradaki kişilerin kümesine fonksiyonun tanım kümesi,yemeklerin kümesine fonksiyonun değer kümesi,değer kümesinde bulunan kişilerin yediği yemeklerin kümesine de fonksiyonun görüntü kümesi denir.

f: A---->B biçiminde yada f: x---->y biçiminde gösterilir.

y=f(x) yazılır. xϵA, y=f(x)ϵB olur.

Fonksiyonun görüntü kümesi f(A) ile gösterilir.

Tanım kümesi: ali,ayşe,fatma

Değer kümesi: sarma,makarna,pilav,yahni

Görüntü kümesi: sarma,makarna,yahni

Örnek: A={a,b,c} B={1,2,3,4,5,6} ise

Fonksiyonun elemanlarının liste yöntemiyle gösterimi

f={(a,2),(b,4),(c,4)}

Fonksiyonun görüntü kümesi

f(A)={2,4}

Örnek: A={-1,0,2,4}, f: A---->B, f(x) = x2-2 veriliyor. f ve f(A) kümesini

bulalım.

Tanım kümesindeki elemanlara x deriz.

x=-1 için f(-1)=(-1)2-2=-1

x=0 için f(0)=(0)2-2=-2

x=2 için f(2)=(2)2-2=2

x=4 için f(4)=(4)2-2=14

f={(-1,-1),(0,-2),(2,2),(4,14)}

f(A)={-1,-2,2,14}

Örnek: f(x+1)=3+f(x) ve f(1)=4 ise f(3) kaçtır?

f(x+1)=3+f(x) eşitliğinde

x=1 yazalım.

f(2)=3+f(1)

f(2)=3+4=7

x=2 yazalım.

f(3)=3+f(2)

f(3)=3+7=10

Örnek: f: R---->R, f(x) = 3x+5 fonksiyonu veriliyor. f(2x+3) fonksiyonunun f(x) cinsinden eşiti nedir?

f(x) = 3x+5

f(2x+3) = 3(2x+3)+5

f(2x+3) = 6x+14

f(2x+3) = 2(3x+5)+4

f(2x+3) = 2f(x)+4

Örnek: f: R---->R, f(3x+2) = x2-x+2 olduğuna göre f(5)+f(2) toplamı

kaçtır?

f(3x+2) = x2-x+2 fonksiyonun içlerini sırasıyla 5 ve 2’ye eşitleyeceğiz.

3x+2=5 buradan x=1 olur.

x=1 için f(5)=1-1+2=2

3x+2=2 buradan x=0 olur.

x=0 için f(2)=0-0+2=2

f(5)+f(2)=2+2=4

Düşey Doğru Testi

Bir grafikte tanım kümesinden y eksenine paralel çizilen doğrular,grafiği bir noktada kesiyor ise grafik, fonksiyon grafiğidir.Bu işleme düşey doğru testi denir.

Fonksiyon Çeşitleri ve Türleri

Bire-Bir Fonksiyon

f: A---->B fonksiyonu için, A’nın farklı elemanlarını B’nin farklı elamanlarına eşleyen fonksiyona bire-bir fonksiyon denir. (1-1 şeklinde de gösterilir.)

Yani farklı elamanların görüntüleri de farklı olmalıdır.

Örnek: Hangisi bire-bir fonksiyondur?

A={0,1,2,3} B={0,1,2,3,4,5}

f={(0,0),(1,2),(2,4),(3,3)}

g={(0,1),(1,1),(2,3),(3,5)}

g fonksiyonunda 0 ve 1’in görüntüleri de 1’dir.Bire-bir olması için görüntülerin farklı olması gerekir.Yani bire-bir değildir.

f fonksiyonu bire-bir’dir.

Yatay Doğru Testi

Bir fonksiyonun grafiği verildiğinde grafiği kesecek şakilde yatay eksene paralel doğrular çizilir.Çizilen bu doğrular grafiği bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire-bir (1-1) fonksiyondur ya da bire birdir denir.Bu işleme yatay doğru testi denir.

Örten Fonksiyon

f: A---->B fonksiyonu için,görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyona örten fonksiyon denir.Yani B’nin hiçbir elemanı açıkta kalmayacak.

Hem bire-bir hem de örten olan fonksiyona 1-1 örten fonksiyon denir.

Örnek: Hangisi örten fonksiyondur?

A={0,1,2,3} B={0,1,2}

f={(0,0),(1,2),(2,1),(3,2)}

g={(0,1),(1,1),(2,2),(3,2)}

g fonksiyonunda 0’a gidilmemiştir.Yani 0 açıkta kalmıştır. Yani örten değildir.

f fonksiyonu örten’dir.

Örnek: Sınıfımızdaki öğrencilerin kümesine tanım kümesi,sınıfımızdaki öğrencilerin okul numaralarının kümesine de değer kümesi diyelim.

Görüntü kümesini oluştururken her öğrenci kendi numarasıyla eşleşeceğine göre bu fonksiyon hem 1-1, hem de örten fonksiyondur.

İçine Fonksiyon

f: A---->B fonksiyonu için,görüntü kümesi değer kümesine eşit olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.Yani örten olmayan fonksiyondur.

Örnek: Hangisi içine fonksiyondur?

A={0,1,2,3} B={0,1,2}

f={(0,0),(1,2),(2,1),(3,2)}

g={(0,1),(1,1),(2,2),(3,2)}

g fonksiyonunda 0’a gidilmemiştir.Yani 0 açıkta kalmıştır. g fonksiyonu içine fonksiyondur. f fonksiyonu içine fonksiyon değildir.

Birim Fonksiyon

A’dan A’ya bir fonksiyon için, her eleman kendisiyle eşleşiyorsa, bu fonksiyona birim fonksiyon denir.

I: A---->A , I(x)=x biçiminde ifade edilir.

Örnek: I: A---->A , I(x)=x

A={1,2,3} B={1,2,3}

f={(1,1),(2,2),(3,3)} birim fonksiyondur.

Sabit Fonksiyon

Tanım kümesinin her elamanının görüntüsü aynı olan,yada görüntü kümesi bir elemanlı olan fonksiyona,sabit fonksiyon denir.

f(x)=c (cϵR)

Örnek: x---->y, f(x)=4

A={1,2,3} B={3,4,5}

f={(1,4),(2,4),(3,4)} sabit fonksiyondur.

Doğrusal Fonksiyon

Matematikte grafiği doğru olan fonksiyona doğrusal fonksiyon denir.

f: R---->R f(x)=mx+n olarak ifade edilir.

Örnek: f: R---->R f(x)=mx+n

f(x)=x-2

g(x)=-4x+1

h(x)=5x

k(x)=x2

Yukarıdakilerin hepsi doğrusal fonksiyondur.

Fonksiyon Sayısı

A={a,b,c} , B={1,2,3,4,5} kümeleri veriliyor.

a) A’dan B’ye tanımlanan tüm fonksiyonların sayısı nedir?

s(B)s(A) formülüyle bulunur.

s(A)=3

s(B)=5

s(B)s(A) = 53 = 5.5.5 = 125’tir.

b) A’dan B’ye tanımlanan bire-bir fonksiyonların sayısı nedir?

s(A)=m, s(B)=n

P(n,m)=n!/(n-m)! Formülüyle bulunur.

P(5,3)=5!/(5-3)!=5!/2!=120/2=60’tır.

c) A’dan B’ye tanımlanan sabit fonksiyonların sayısı nedir?

B’nin eleman sayısıdır.Sabit fonksiyon sayısı 5’tir.

d) A’dan B’ye tanımlanan bire-bir örten fonksiyonların sayısı nedir?

s(A)=m ise A’dan A’ya tanımlanan bire-bir örten fonksiyon sayısı P(m,m)=m!

P(m,m)=m!= P(3,3)=3!=1.2.3=6’dır.

Yeni yorum gönder

  • Web sayfası ve e-posta adresleri otomatik olarak bağlantıya çevrilir.
  • İzin verilen HTML etiketleri: <a> <em> <strong> <cite> <code> <img> <b> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <dd>
  • Satır ve paragraflar otomatik olarak bölünürler.

Biçimleme seçenekleri hakkında daha fazla bilgi

CAPTCHA
This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.
Image CAPTCHA
Enter the characters shown in the image.

Son yorumlar

Anket

Milli Eğitim Bakanlığının Uyguladığı TEOG (Temel Eğitimden Ortaöğretime Geçiş) Sistemi, Sizce Uygulanmalı mı?: